De puzzel van Roger Penrose

In mei 1971 maakte Escher zijn laatste vlakverdeling, een tekening in Oost-Indische inkt en waterverf van een figuurtje dat hij zelf een 'spookje' noemde. Het was de laatste in een lange serie in schriften gemaakte vlakvullingen, maar het was ook in een ander opzicht een opmerkelijke tekening.

In 1962 was de Britse wiskundige Roger Penrose in Nederland en hij bezocht Escher in zijn huis in Baarn. De twee hadden elkaar leren kennen nadat Penrose werk van Escher had gezien tijdens het Internationaal Mathematisch Congres in 1954. Ze begonnen een briefwisseling die in 1960 zou leiden tot de prent Klimmen en dalen. Penrose is zijn hele carrière gefascineerd geweest door vlakvullingen, een fascinatie die hij deelde met Escher. Penrose kreeg van Escher een prent en hij gaf zijn gastheer op zijn beurt een houten puzzel. Die bestond uit een serie identieke geometrische vormen, gebaseerd op een ruit. Twee zijden van de ruit waren aangepast door er een trapeziumvorm met hoeken van 60 en 120 graden hoeken uit te snijden en die aan de andere zijden aan te leggen. De vormen pasten op veel manieren in elkaar, maar er was maar één unieke manier waarop ze zo gecombineerd konden worden dat er een vlakvulling ontstond met daarin alle puzzelstukken. De wiskundige daagde de graficus uit om de puzzel op te lossen. Escher nam de uitdaging aan en puzzelde er een tijd op. Met succes. Een aantal weken later stuurde hij Penrose een brief met daarin een schets van de oplossing. In de brief uitte Escher zijn verbazing over het feit dat de vormen maar op één manier in elkaar pasten. Het ging in tegen zijn jarenlange overtuiging dat een vlakvulling, door middel van diverse spiegelingen en draaiingen, oneindig voortgezet kon worden.

Maar het bleef het niet bij het oplossen van de puzzel. De basisvorm van Penrose prikkelde hem om een eigen variant te maken. In een brief aan Penrose tekende hij het figuurtje dat hij had bedacht en dat hij omschreef als 'spookje'. Het duurde vervolgens jaren voordat hij in mei 1971 een vlakvulling maakte met zijn zelfbedachte figuurtje. Het was een vlakvulling die op twee manieren uniek was. Het is de enige vlakverdeling in zijn oeuvre van honderden tekeningen en prenten die niet willekeurig herhaald kan worden. En het is de laatst bekende tekening die Escher zou maken.

De zoektocht naar een zich niet herhalende vlakvulling

Ook Penrose had niet stil gezeten. Hij bleef puzzelen om een vlakvulling te vinden die nooit horizontaal of verticaal in herhaling valt. Lang leek het onmogelijk dat zo'n oneindig vlak volgens een geordend patroon gevuld kan worden zonder repetitief te worden. Tot in de jaren 50 waren eigenlijk alle wiskundigen daarvan overtuigd. Een vlakvulling van zich herhalende vormen moest zich wel tot het oneindige uit kunnen strekken. Als de basisbetegeling steeds herhaald kan worden, dan is hij periodiek. Maar langzaam rees de consensus dat er ook vlakvullingen moesten bestaan die niet willekeurig herhaald konden worden. Roger Penrose schreef er in 1958 al een artikel over voor de kersteditie van New Scientist, samen met zijn vader Lionel Penrose. Daarin lieten ze lezers puzzelen op deze a-periodieke betegelingen, op basis van zeven verschillende basisvormen.

In 1974 vond Penrose een a-periodieke betegeling uit, bestaand uit slechts twee basisvormen. De vormen die hij bedacht, waren een pijl en een vlieger. Tegen elkaar geschoven op de meest voor de hand liggende manier vormen ze een ruit. Maar dat is nu net de manier waarop ze niet geschakeld mogen worden, als je een a-periode betegeling wil maken. Met de rode en groene lijnen zijn in de voorbeeldvormen hieronder aangegeven hoe ze wel geschakeld mogen worden; de lijnen moeten in elkaar over lopen. Later bleek dat er nog een tweede paar vormen mogelijk was waarmee deze a-periodieke betegelingen gemaakt kunnen worden, een scherpe en een stompe ruitvorm met hoeken van 36 en 144 (scherp) en 72 en 108 (stomp) graden. Dus allemaal veelvouden van 36. De verhouding tussen het aantal pijlen en vliegers en tussen scherpe en stompe ruiten is in een Penrose-betegeling altijd gelijk. Namelijk die van de gulden snede, 1 : 1.618. Dus als je in een Penrose-betegeling 100 pijlen telt, dan weet je dat er 162 vliegers in zitten. Hoe groter de aantallen, des te dichter komt de verhouding bij die van de gulden snede.

Wetenschapsjournalist Martin Gardner wijdde twee van zijn Scientific American columns aan a-periodieke betegelingen. In 1988 zijn de columns, waaronder die over Penrose, gebundeld in het boek Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers.

In Science van februari 2007 publiceerden Peter Lu en Paul Steinhardt hun onderzoek naar patronen in vroege middeleeuwse Islamitische kunst. Zij ontdekten dat daarin al vlakvullingen voorkomen met niet-herhalende patronen. Een van die voorbeelden is de boog van het vijftiende-eeuwse Darb-i Imam-grafcomplex in Isfahan, Iran. Die is versierd met een tegelmozaïek dat wel geordend is, maar geen herhalingen bevat. Hoewel er discussie is onder wetenschappers wanneer die patronen precies zijn aangebracht, staat vast dat ze pas honderden jaren later in het Westen werden ontdekt.

Girih tegels

Onderzoekers Lu en Steinhardt ontdekten in de Islamitische patronen vijf verschillende tegels. Deze 'Girih tegels' (Girih betekent letterlijk 'knoop') zaten waarschijnlijk in de gereedschapskist van elke vakman die destijds aan de gebouwen werkte. Een ruit, een strikje, een regelmatige tienhoek, een regelmatige vijfhoek en een niet-regelmatige zeshoek. Met de Girih tegels zijn zowel periodieke als a-periodieke vlakverdelingen te leggen. Alle zijden van deze vijf tegels zijn precies even lang. Deze tegels kunnen opgevuld worden met tegels van dezelfde vorm, die allemaal met dezelfde factor verkleind zijn. Op die manier konden ze de wonderlijkste configuraties in elkaar passen.

In deze twee prachtige animaties door Maurizio Paolini en Alessandro Musesti van de universiteit in Brescia wordt helder uiteengezet hoe een Penrose-betegeling werkt.