Cirkellimiet IV (Hemel en hel)

In juli 1960 voltooide Escher de laatste van zijn vier ‘cirkellimieten’. Hij had er al een tijd mee gestoeid, maar hij werd pas op het juiste pad gebracht door een publicatie van de Canadese professor H.S.M. Coxeter. Hij had deze hoogleraar aan de Universiteit van Toronto in 1954 ontmoet, tijdens het Internationaal Mathematisch Congres. In het artikel beschreef Coxeter hoe een vlakvullingmotief van het centrum naar de rand van een cirkel steeds verder verkleind wordt en de motiefjes oneindig dicht bij elkaar komen te staan.* In 1957 gaf Coxeter een lezing voor de Royal Society of Canada en hij vroeg Escher per brief of hij een paar werken van de graficus in de lezing mocht gebruiken. Na afloop stuurde Coxeter Escher een afdruk van zijn lezing (die onder de naam Crystal Symmetry and Its Generalizations was gepubliceerd **), waarin hij ook het figuur had opgenomen waarover Escher zo enthousiast zou worden. Coxeter baseerde dit figuur op zijn beurt op het werk van de Franse wiskundige Jules Henri Poincaré, die in zijn Poincaré disk deze vorm van hyperbolische meetkunde had gevisualiseerd.

Escher haalde zijn inspiratie vooral uit de illustraties, met de begeleidende tekst kon hij weinig.

‘Aan Coxeters hokus-pokus tekst heb ik niets, maar het plaatje helpt mij waarschijnlijk tot het maken van een vlakverdeling, die een voor mij volkomen nieuwe variant belooft te worden van mijn serie vlakverdelingen. Een cirkelvormige, regelmatige vlakvulling, die aan alle zijden logisch begrensd wordt door het oneindig kleine, is wel iets wonderschoons, haast even mooi als de regelmatige vlakverdeling van het boloppervlak. Tegelijkertijd heb ik het gevoel dat ik mij hoe langer hoe meer verwijder van datgene, waarmee ik “succes” zou kunnen boeken bij het “publiek”; maar wat kan ik er aan doen, als zulk een probleem mij zo boeit dat ik er niet van af kan blijven. Het is minder eenvoudig dan het lijkt. Probeer het maar eens: zet maar eens een (of vier) vierkantjes van een willekeurige grootte in het midden van een cirkel (b.v. van elkaar gescheiden door twee loodrecht op elkaar staande middellijnen) en verklein die dan gaandeweg naar buiten toe, en wel zodanig, dat ze als schaakbord-velden aan elkaar grenzen. Met enkel viertallige assen kom je er niet; je moet de 4-tallige afwisselen met 6-tallige op een allercurieuste wijze, die normaliter op het platte vlak onmogelijk is. De begrenzingen zijn dan ook maar voor een klein deel rechtlijnig (slechts 3 elkaar snijdende middellijnen) en voor de rest zijn het allemaal cirkels. Zonder het plaatje van Coxeter zou ik dan ook nooit op het idee gekomen zijn.’***

Een correspondentie tussen de graficus en de mathematicus volgde, waarbij Escher om advies vroeg over hoe verder te gaan met zijn pogingen grip te krijgen op deze bolvormige vlakvullingen. Coxeter leerde op zijn beurt van Escher, omdat die met oplossingen kwam voor deze vorm waaraan de hoogleraar nog niet had gedacht. De wiskundige kant bleef voor Escher echter uitermate moeilijk. Toen hij Coxeter in 1960 een afdruk stuurde van Cirkellimiet III kreeg hij een enthousiaste brief terug. Maar opnieuw begreep hij niets van wat Coxeter hem in schrift uit wilde leggen.

‘Drie zijdjes vol met explicaties over wat ik eigenlijk wel gedaan heb. Jammer dat ik er niets, maar dan ook niets, van begrijp.’****

Als basis voor Cirkellimiet IV gebruikte Escher een tekening uit een van zijn schetsboeken: Regelmatige vlakverdeling nummer 45, gemaakt tijdens Kerstmis 1941. De subtitel van Cirkellimiet IV is Hemel en hel. In de prent zijn namelijk witte ‘engelen’ te zien en zwarte ‘duivels’ (in de vorm van vleermuizen). De drie engelen en drie duivels in het midden vullen elkaar perfect aan. Het goed en het kwaad hebben elkaar nodig om zichtbaar te zijn, tot in het oneindige.

Het fascinerende en briljante van Escher blijft toch wel dat het hem is gelukt hyperbolische vlakvullingen te maken die zijn gebaseerd op complexe wiskundige theorieën waar veel wiskundigen hun hoofd over gebroken hebben, terwijl hij zelf niets begreep van deze theorieën.

Professor Thomas Wieting heeft een zeer interessant artikel geschreven over de ontwikkeling van de serie cirkellimieten. Er is ook een pdf van beschikbaar.

In deze video brengt Coxeter Eschers cirkellimieten samen met de theorie erachter.

Bronvermelding
[*], [***] en [****] Wim Hazeu, M.C. Escher, Een biografie, Meulenhoff, 1998, blz. 404-408
[**]H. S. M. Coxeter, Crystal symmetry and its generalizations, volume 51 of the Transactions of the Royal Society of Canada, 1957