Cirkellimiet IV (Hemel en hel)

In juli 1960 voltooide Escher de laatste van zijn vier 'cirkellimieten'. Hij had er al een tijd mee gestoeid, maar hij werd pas op het juiste pad gebracht door een publicatie van de Canadese professor H.S.M. Coxeter. Hij had deze hoogleraar aan de Universiteit van Toronto in 1954 ontmoet, tijdens het Internationaal Mathematisch Congres. In het artikel beschreef Coxeter hoe een vlakvullingmotief van het centrum naar de rand van een cirkel steeds verder verkleind wordt en de motiefjes oneindig dicht bij elkaar komen te staan.* In 1957 gaf Coxeter een lezing voor de Royal Society of Canada en hij vroeg Escher per brief of hij een paar werken van de graficus in de lezing mocht gebruiken. Na afloop stuurde Coxeter Escher een afdruk van zijn lezing (die onder de naam Crystal Symmetry and Its Generalizations was gepubliceerd **), waarin hij ook het figuur had opgenomen waarover Escher zo enthousiast zou worden. Coxeter baseerde dit figuur op zijn beurt op het werk van de Franse wiskundige Jules Henri Poincaré, die in zijn Poincaré disk deze vorm van hyperbolische meetkunde had gevisualiseerd.

Escher haalde zijn inspiratie vooral uit de illustraties, met de begeleidende tekst kon hij weinig.

Een correspondentie tussen de graficus en de mathematicus volgde, waarbij Escher om advies vroeg over hoe verder te gaan met zijn pogingen grip te krijgen op deze bolvormige vlakvullingen. Coxeter leerde op zijn beurt van Escher, omdat die met oplossingen kwam voor deze vorm waaraan de hoogleraar nog niet had gedacht. De wiskundige kant bleef voor Escher echter uitermate moeilijk. Toen hij Coxeter in 1960 een afdruk stuurde van Cirkellimiet III kreeg hij een enthousiaste brief terug. Maar opnieuw begreep hij niets van wat Coxeter hem in schrift uit wilde leggen.

Als basis voor Cirkellimiet IV gebruikte Escher een tekening uit een van zijn schetsboeken: Regelmatige vlakverdeling nummer 45, gemaakt tijdens Kerstmis 1941. De subtitel van Cirkellimiet IV is Hemel en hel. In de prent zijn namelijk witte 'engelen' te zien en zwarte 'duivels' (in de vorm van vleermuizen). De drie engelen en drie duivels in het midden vullen elkaar perfect aan. Het goed en het kwaad hebben elkaar nodig om zichtbaar te zijn, tot in het oneindige.

Het fascinerende en briljante van Escher blijft toch wel dat het hem is gelukt hyperbolische vlakvullingen te maken die zijn gebaseerd op complexe wiskundige theorieën waar veel wiskundigen hun hoofd over gebroken hebben, terwijl hij zelf niets begreep van deze theorieën.

In deze video brengt Coxeter Eschers cirkellimieten samen met de theorie erachter.